FISIKA KOMPUTASI

 Materi Fisika Komputasi 

    Menurut Tentua (2017:114) “metode bagi dua adalah cara menyelesaikan persamaan non-linier dengan membagi dua nilai 𝑥1 dan 𝑥2 dilakukan berulangulang sampai nilai 𝑥 lebih kecil dari nilai tolerasi yang ditentukan”. Metode ini sederhana tetapi lambat. Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal sebut 𝑎 (ujung kiri selang) dan 𝑏 (ujung kanan selang), 𝑎 ≤ 𝑏 yang harus memenuhi 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0, selang [𝑎, 𝑏] mengandung akar.          

            Misalkan sudah ditemukan interval yang cukup kecil [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0, yang berarti pada interval memuat akar (Mulyono,2020:229). Pada setiap kali iterasi, selang [𝑎, 𝑏] dibagi dua di 𝑥 = 𝑐, sehingga terdapat upselang yang berukuran sama yaitu [𝑎, 𝑐] dan [𝑏, 𝑐]. Proses diulang dengan membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang mana mengandung akar. Pembagiduaan selang dilanjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil. selang yang mengandung akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari hasil kali 𝑓(𝑎)𝑓(𝑐) < 0 atau 𝑓(𝑐)𝑓(𝑏) < 0.

            Metode biseksi termasuk metode tertutup, sehingga diperlukan 2 titik awal sebagai interval yang mengapit akar yang akan dicari. Sebelum lebih lanjut membahas mengenai metode biseksi, teorema nilai antara yang menjadi ide dasar dalam iterasi metode biseksi. Metode bagi dua digunakan untuk mencari akar-akar poninomial. Ini memisahkan interval dan membagi lagi interval di mana akar persamaan berada. Prinsip di balik metode ini adalah teorema perantara untuk fungsi kontinu. Ia bekerja dengan mempersempit kesenjangan antara interval positif dan negatif hingga mendekati jawaban yang benar. Metode ini mempersempit kesenjangan dengan mengambil rata-rata interval positif dan negatif. Ini adalah metode yang sederhana dan relatif lambat. Metode bagi dua juga dikenal sebagai metode interval separuh, metode pencarian akar, metode pencarian biner atau metode dikotomi.

    Mari kita perhatikan fungsi kontinu “f” yang didefinisikan pada interval tertutup [a, b], diberikan dengan f(a) dan f(b) dengan tanda berbeda. Kemudian berdasarkan teorema perantara, terdapat titik x milik (a, b) yang f(x) = 0

Ikuti prosedur di bawah ini untuk mendapatkan solusi fungsi kontinu: Untuk setiap fungsi kontinu f(x),

a.     Temukan dua titik, katakanlah a dan b sehingga a < b dan f(a)* f(b) < 0

b.     Temukan titik tengah a dan b, ucapkan “t”

c.     t adalah akar dari fungsi yang diberikan jika f(t) = 0; jika tidak, ikuti langkah berikutnya

d.     Bagilah interval [a, b] – Jika f(t)*f(a) <0, terdapat akar antara t dan a
– jika tidak, jika f(t) *f (b) < 0, terdapat akar di antara t dan b

e.     Ulangi ketiga langkah di atas hingga f(t) = 0.

Metode bagi dua adalah metode perkiraan untuk mencari akar-akar persamaan tertentu dengan membagi interval secara berulang-ulang. Metode ini akan membagi interval hingga ditemukan interval yang dihasilkan, yang sangat kecil.

Contoh Metode Bagi Dua

Pertanyaan: Tentukan akar persamaan x ² -3 = 0 untuk x ∈ [1, 2]

Larutan:

Diberikan: x ² -3 = 0

Misalkan f(x) = x ² -3

Sekarang, carilah nilai f(x) pada a= 1 dan b=2.

f(x=1) = 1 ² -3 = 1 – 3 = -2 < 0

f(x=2) = 2 ² -3 = 4 – 3 = 1 > 0

Fungsi yang diberikan kontinu, dan akarnya terletak pada interval [1, 2].

Biarkan “t” menjadi titik tengah interval.

Yaitu, t = (1+2)/2

t =3/2

t = 1,5

Oleh karena itu, nilai fungsi pada “t” adalah

f(t) = f(1,5) = (1,5) ² -3 = 2,25 – 3 = -0,75 < 0

Jika f(t)<0, asumsikan a = t.

Dan

Jika f(t)>0, asumsikan b = t.

f(t) bernilai negatif, sehingga a diganti dengan t = 1,5 untuk iterasi berikutnya.